Les filtres

Un filtre de base peut être composé d'une cellule RC ou d'une cellule RL. On appelle ce type de filtre un filtre du premier ordre. Ces filtres sont caractérisés par une atténuation de 6 dB/octaveou 20 dB/décade à partir de la fréquence de coupure.
Les fréquences de coupure des filtres du premier ordre sont :

Donc, pour une cellule RC, fc = 1 / (2 p RC) et pour une cellule RL, fc = R / (2 p L).
Les filtres passe-bas ou passe-haut peuvent avoir un nombre entier d'ordre (1, 2, 3...) tandis que les filtres passe-bande ou coupe-bande ne peuvent qu'avoir un ordre pair (2, 4, 6, ...) car ils sont formés de paires de cellules : 2 cellules RC ou une cellule RC et une cellule RL.
Les pentes asymptotiques sont proportionnelles au nombre de cellules. Ainsi, si nous formons un filtre actif à l'aide deux cellules de base (par exemple, deux cellules RC), nous obtiendrons un filtre du deuxième ordre. Ce filtre pourra donc avoir une atténuation de 12 dB/oct ou 40 dB/décade. En règle générale,

Atténuation = n(6 dB/ octave) = n (20 dB/décade)
où n = nombre de cellules de base.

Tous les filtres, de quel ordre que ce soit, peuvent être réalisés à partir de filtres du premier et du deuxième ordre. Par exemple, si nous voulons obtenir un filtre ayant une atténuation de 100 dB/décade, nous devrons soit concevoir un filtre du 5ème ordre (donc possédant 5 cellules de base), soit utiliser un filtre actif du premier ordre suivi de deux filtres du second ordre . Le résultat sera le même (1 + 2 + 2 = 5). C'est pourquoi notre étude ne se limitera qu'au filtre actif du 1er et du 2ème ordre. Ils serviront de blocs élémentaires permettant la réalisation de n'importe quel filtre. Il est à noter que cette technique de mise en cascade de différents filtres n'est valide que pour les filtres actifs et ne peut être utilisée aussi facilement avec les filtres passifs.

La normalisation d'un filtre

Un filtre normalisé est un filtre conçu pour une impédance spécifique (souvent 1 W) et une fréquence spécifique (souvent 1 rad/sec = Hz/2p ). A partir des valeurs standards normalisées (1W, 1F et 1 H), on peut concevoir un filtre pour toute autre fréquence ou impédance en dénormalisant le filtre.

Lorsque l'on dénormalise un filtre en impédance, on doit:
· multiplier toutes les valeurs de résistances par l'impédance désirée;
· diviser toutes les capacités par l'impédance désirée;
· multiplier toute les inductances par l'impédance désirée.

Lorsque l'on dénormalise un filtre en fréquence, on doit:
· diviser toutes les capacités par 2 p Fc = wc ;
· multiplier toutes les inductances par 2 p Fc= wc;
· ne pas changer les résistances.

Afin que le circuit filtre conserve les même propriétés, on doit dénormaliser (ou normaliser) tous les composants passifs du filtre.
Exemple de calcul : Pour le filtre normalisé ci-haut (filtre passe-bas du second ordre), si l'on veut obtenir les mêmes caractéristiques mais pour une fréquence de coupure de 588 Hz, des impédances de 10 kW et un facteur d'amortissement z = 0.25, nous devons effectuer les modifications suivantes :

R = Rnorm x (10 000) = 1W x 10 K = 10 kW
R2-D = 10 kW (2 - D) = 10 kW (2 - 2(0.25)) = 15 kW
C = Cnorm / [2m (588)(10 000)] = 1 F / [36,95 x 106]= 0.027 m F

Les fonctions de transfert

Une fonction de transfert est, par définition, une fonction de sortie divisée par une fonction d'entrée. Pour un filtre actif, la fonction de transfert est toujours exprimée sous la forme de vsortie / ventrée . Donc, pour des filtres actifs, la fonction de transfert n'est qu'un autre nom pour exprimer le gain de tension. La fonction de transfert inclut généralement les gains et les phases des tensions, et ce, en fonction de la fréquence.
Par exemple, la fonction de transfert d'un filtre RC passe-bas est:

Le gain est alors :

Et, exprimé en dB, le gain est :

À partir de cette relation, on peut déduire que plus la fréquence sera faible, plus le gain sera élevé, donc plus la tension de sortie sera élevée. Ce qui est la caractéristique d'un filtre passe-bas. A la limite, le gain vs / ve= 1 (ou 0 dB) lorsque f = 0 Hz